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原創 qiangshuai521  2019-12-23 15:52  閱讀 111 views 次
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醉鬼能找到回家的路,但是一只醉酒的小鳥可能永遠回不了家。

角谷靜夫(Shizuo Kakutani)

在本章中,我們討論兩個來自概率論和統計學的經典模型:伯努利甕模型(Bernoulli urn model)和隨機游走模型。1這兩個模型都描述了隨機過程,即使看上去它們似乎在生成某種復雜的結構。如果不收集數據,隨機性是很難辨別的。我們經常想當然地以為能夠在選舉結果、股票價格和體育賽事得分中總結出一定的模式,但這只是一廂情愿。借用學者、風險分析師納西姆·塔勒布(Nassim Taleb)的一句俏皮話來說,我們都被隨機性所惑,不過是一些“隨機漫步的傻瓜”!2

伯努利甕模型描述了產生離散結果的隨機過程,例如拋硬幣或擲骰子。這個模型在幾個世紀以前出現時,是為了解釋贏得賭注的概率,現在已經在概率論中占據中心位置。隨機游走模型就是建立在伯努利甕模型的基礎上的,保持了正面和反面的總數。這個模型可以刻畫液體和氣體中粒子的運動,動物在物理空間中的活動,以及從出生到童年人體身高的增長,等等。3

本章首先簡要介紹伯努利甕模型,并對條紋長度(length of streaks)進行了分析。然后描述隨機游走模型,我們將會了解到,一維和二維隨機游走會無限次地回到起點,而三維隨機游走則可能完全不需要回到起點。我們還會了解到,對于一維隨機游走,回到零點之間的時間間隔分布遵循冪律分布。對于這個發現,有人可能認為它除了滿足人們的好奇心之外沒有什么用,但事實上,它可以解釋物種和企業的生命周期。我們還將使用隨機游走模型評估有效市場假設,并用它來確定網絡規模。

伯努利甕模型

伯努利甕模型由一個裝了灰球和白球的甕組成。從甕中抽取的球代表隨機事件的結果。每次抽取都與之前和之后的抽取無關,因此我們可以應用大數定律:從長遠來看,抽出每種顏色的球的比例將會收斂到這個球在甕中的比例。當然,這并不意味著從一個裝了7個白球和3個灰球的甕中抽取1 000次,將會恰好抽出700個白球,它的意思是抽取出來的白球比例會收斂到70%。4

伯努利甕模型

每一次,從一個裝了G個灰球和W個白球的甕中隨機抽取一個球,結果等于抽取出來的球的顏色。在下一次抽取之前,球要先放回甕中。令表示灰球的比例。在抽取N次的情況下,可以計算出抽取出來的灰球的期望數量NG,及其標準差:

伯努利甕模型的結果產生了可預測長度的條紋。在灰球和白球數量相等的甕中,抽取出白球的概率等于1/2,連續抽取出兩個白球的概率等于1/2乘以1/2,以此類推。一般情況下,如果甕中白球的比例為P,那么連續抽取N個白球的概率等于PN。通過計算概率,我們可以評估某種條紋是不是有可能出現(盡管很令人吃驚),或是幾乎完全不可能(因而基本上可以肯定“有詐”)。當一名籃球運動員連續9次投中了三分球時,只是有熱手效應嗎?或者,我們是否應該期待有一個這種長度的隨機序列?數學計算表明,一個很優秀的三分投手在長達10年的職業生涯中,也幾乎完全不可能連續9次投中三分球。5

我們可以進行類似的計算以確定投資者是幸運、能力出眾還是在欺詐。自1965年至2014年,由沃倫·巴菲特(Warren Buffett)經營的集團伯克希爾哈撒韋公司(Berkshire Hathaway),在50年中有42年的表現優于市場。1964年伯克希爾哈撒韋公司的1美元在2016年的價值已經超過了1萬美元,而投資標準普爾500指數的1美元價值大約為23美元。如果伯克希爾哈撒韋公司有50%的機會擊敗市場,那么它在50年來的表現應該超過市場的25倍,標準差為3.5年。而事實上,伯克希爾哈撒韋公司擊敗市場的實際年數大約高于均值四個標準偏差,這是一個概率僅有百萬分之一的事件,因此,我們可以排除這完全是運氣的可能。由于伯克希爾哈撒韋公司定期公布它的投資,所以也可以排除欺詐的可能。與此相反,前納斯達克主席、美國歷史上最大的詐騙案制造者伯納德·麥道夫(Bernard Madoff)從來不透露他的投資情況,如果客戶要求投資透明度的話,麥道夫是不可能連續幾十年取得“成功”,連續幾十年得到正回報的。6

隨機游走模型

接下來討論簡單隨機游走模型,它建立在伯努利甕模型的基礎上,并將過去結果的和保持下來。我們將初始值,也就是模型的初始狀態設置為零。如果我們抽取出一個白球,就在總數上加1;如果抽取出一個灰球,就從總數中減1。模型在任何時候的狀態都等于先前結果的總和,也就是抽取出來的白球總數減去抽取出來的灰球總數的值。

簡單隨機游走模型

Vt+1=Vt+R(-1,1)

其中,Vt表示時間t上的隨機游走值,V0=0,R(-1,1)是一個可能等于-1或1的隨機變量。在任何時間段內,這個隨機游走的期望值都等于零,且標準差為,其中的t等于周期數。7

圖13-1給出了一個簡單隨機游走。這幅圖看上去似乎有一個模式:先是一個長期下降的趨勢,然后是一個上升趨勢;在上升過程越過零線時出現了一個適度的崩潰。但這個模式只是偶然發生的。

圖13-1 一個300周期的簡單隨機游走

簡單隨機游走既是周期性的(會無限次地返回零點),又是無界性的(會超過任何正的或負的閾值)。如果等待足夠長的時間,隨機游走會高于正的1萬、低于負的100萬,也會無限次地穿過零線。此外,返回零點所需的步數分布滿足冪律。8在大多數時候,返回零只需幾步。所有游走中,有一半是兩步返回的,然而有些游走需要很長時間才能返回。鑒于隨機游走的無界性,這必定是真的。一個超過100萬步閾值的游走,需要超過200萬步才能到達那里并返回零點。

冪律分布結果還有一個意想不到的應用領域。如果我們將企業的銷售水平或員工規模建模為隨機游走,那么企業的生命周期就會成為一個冪律分布。更準確地說,當銷售強勁時,企業會新招聘一名員工;當銷售不佳時,會解雇一名員工;當不再擁有任何員工時,企業也就“壽終正寢”了。這樣一來,返回次數的分布就等于企業生命周期的分布,而且是一個冪律分布。再者,就其第一近似而言,企業的生命周期是一個冪律。9我們可以應用相同的邏輯來預測生物分類單元(界,門,經,綱,目,科,屬和種)的壽命。如果某個分類單元的成員數量遵循隨機游走,例如,如果某個屬中的物種數量隨機地上下變化,那么,這個分類單元的大小就應該滿足冪律。這方面的數據支持了這個模型的預測。10

對于隨機游走模型,還可以做這樣一個類比:將隨機游走視為冰川沿著地面的移動。根據模型的預測,冰川湖泊的大小分布將滿足冪律。每一次,當冰川落到了陸地表面以下又返回頂部時,就會形成一個直徑等于返回時間的湖泊。在這里,相關數據再一次與模型基本對應。11

這個基本隨機游走模型可以通過多種方式加以修正。我們可以創建一個正態隨機游走(normal random walk)。在正態隨機游走中,每一周期的值的變化都服從正態分布。正態隨機游走不會完全回到零點,但它會無限次地穿過零點。

我們還可以令某一種結果比另一種結果更有可能發生,從而創建一個有偏差的隨機游走。我們可以利用這種有偏差的隨機游走模型來預測在博彩中獲勝的概率。輪盤賭中,在紅色結果上下注時贏的概率等于9/12。12我們可以將賭輪盤賭的總收益或總損失建模為這樣一個隨機游走:增加1的概率為9/19(大約47.4%),而減少1概率則為10/19。那么在下注100次之后,預期損失為5美元,標準差為10美元。這也就是說,我們可以在95%的置信水平上,認為損失不超過25美元、收益不超過15美元。在下注1萬次之后,預期損失等于526美元,標準差為100美元。因此,在95%的置信水平上,我們的損失介于325美元與725美元之間。13同樣,在下注1萬次之后,我們還能贏是一個相當于超過均值5個標準偏差的事件,也就是說我們贏的可能性不到百萬分之一。因此,要想在輪盤賭中贏,應該做的事情是下一個大賭注而不是下很多個小賭注。

一些體育比賽,例如籃球比賽,可以建模為兩個有偏差的隨機游走。在球場上,每支球隊在每次攻守中都有可能得分。這個概率可以根據一支球隊的進攻能力和對方球隊的防守能力來估計。我們將球隊在球場上的“行程”模擬為一個隨機事件。每支球隊的得分對應一個隨機游走值,得分較高的球隊更有可能獲勝。來自NBA的數據分析表明,實際比賽結果與這個模型匹配得相當好。只有當一支球隊獲得了巨大的領先優勢時,得分才會偏離隨機性,在那種情況下領先優勢繼續擴大的可能性低于領先優勢縮小的可能性。這種現象可以解釋為領先的球隊失去了繼續得分的動力,同時落后的球隊則必須至少讓分數看上去不那么“丟臉”。14

我們似乎會認為籃球比賽的結果肯定不是隨機的。聰明、健壯且靈活的籃球運動員,擁有很多巧妙的進攻手段,并能在關鍵時刻實現扭轉乾坤的得分。這當然也是事實,但是球員們的努力效果可能會被抵消。額外的進攻得分可能會因為額外的防守努力而被抵消。一個重要的搶斷后的快速上籃,可能會被沖刺了大半個球場的對方球員破壞。這個模型還提出了一個策略:更強的那支球隊應該加快比賽節奏,以創造更多的進攻回合。占有優勢的球隊應該更頻繁地玩“輪盤賭”,因為隨機“漂移”對他們有利。

簡單隨機游走模型只在一個維度上進行。我們還可以對高維隨機游走建模。二維隨機游走從平面中的原點(0,0)開始,然后在每個周期中隨機走向東、南、西、北。二維隨機游走類似于在一張紙上繪制出來的一條彎彎曲曲的線,同時也滿足遞歸性(recurrence)和無界性,有點兒類似于在你的起居室中隨機搜索一只丟失的耳環時的路線。這種遞歸性使隨機覓食成了螞蟻的一個覓食策略。15如果二維隨機游走不是遞歸性的,那么螞蟻就需要更復雜的內部地圖或更強的信息蹤跡才能找到它們的巢穴。

但是在有三個維度的情況下,隨機游走將不再滿足遞歸性。在一個房間里到處飛的蒼蠅和在空氣中彈跳的分子都只會有限次地返回到它們的起點。16(正因為如此,才會在本章開頭引用角谷靜夫的那段話。)

隨機游走的無遞歸性為模型如何闡明我們的思考提供了一個很好的例子。直覺告訴我們,當添加維度時,返回起點的次數應該會減少,而邏輯則表明,這里會出現一個突然的變化。在一維和二維的情況下,隨機游走會無限次地返回起點。而在三維的情況下,它將“永恒在外游蕩”。要得到這種結果必須利用數學,只靠直覺是不夠的。

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